眠り姫問題

はじめに

眠り姫問題について私はずいぶんと長い期間考えてきました。しかし決定的な解を得られないままになっています。私なりの考えそのものは一段落しましたが、依然として頭の中がスッキリしないままです。一見簡単な確率問題のようですし場合によっては暗算で回答可能のようですので、皆さんのお知恵を拝借したいと思い、日記にアップしてみます。なお、皆さんの回答ないしご説明に当たっては、おそらく当日記のコメントごときでは書き足らないケースも出てくると思います。その場合にはどこかにアップしておいてリンクなりトラックバックなりをして頂けるとすごく嬉しいです。
なお、以下の問題文は、分析哲学者である三浦俊彦先生によるものです。できるだけ瑣末な余計なことを考えないですむように問題文を最適化してあるようです。

日曜日に、ある実験が始められる。まず、あなたは眠らされる。そのあとフェアなコインが投げられ、表か裏かによって、次の二つの措置が選ばれる。

場合Ａ■表が出た場合
あなたは月曜日に一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、ずっと眠り続ける。

場合Ｂ■裏が出た場合
あなたは月曜日に一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、火曜日に一度起こされ、インタビューされ、また眠らされ、ずっと眠り続ける。眠りは記憶を消すほど深いので、目覚めたときに月曜か火曜かはわからない。

いずれの場合もあなたは、実験の手続きについてはすべてわかっているものとする。目覚めたときに自分が月曜にいるか火曜にいるか、そしてコインは表だったのか裏だったのかがわからないだけである。

ちなみに、コイン投げがなされるタイミングについては融通が利く。コイン投げは、あなたが最初に起こされる前でも、月曜にあなたが目覚めた後でも、問題の構造は変化しない。
さて、あなたへのインタビューは次のようなものである。

◇問１「今は日曜日、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」

◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。場合Ａである確率は？」

◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。今は月曜日である。場合Ａである確率は？」

問１の正解が１／２であることに異を唱える人はいないだろう。これからコインを投げて表になる確率は１／２なので、場合Ａである確率は当然１／２である。
問２と問３が、「眠り姫問題」だ。意思決定問題と人間原理という二つの分野で共通のテーマセッターとなっている有名な難問である。

回答の類型について

三浦先生により、眠り姫問題の回答の類型が分類されていましたが、その分類に私の見地も加えて以下に記してみます。（いろんな派閥が出てくるのですよね。あなたは何派ですか？）
なお、それぞれの回答について、それなりに正しそうな理由があるのですが、今回はとりあえず省略させていただきます。みなさんなりのご判断に先入観念を植えつけてしまうことを恐れるからです。

１／２派（三浦先生による命名）

問２について１／２
問３について２／３

１／３派（三浦先生による命名）

問２について１／３
問３について１／２

ニック・ボストラム派（hoshikuzuが仮に命名）

問２について１／２
問３について１／２
※ベイズ推定を行う理由がないものとしています。

１／２原理主義派（hoshikuzuが仮に命名）

問２について１／２
問３について１／２
※ベイズ推定を行います。

１／３原理主義派（hoshikuzuが仮に命名）

問２について１／３
問３について１／３

いずれの派閥もある意味で正しくある意味で間違い

問題の設定が不備である。不備についての考察こそが興味深い結果を生み出す。

私の中の回答の移り変わり

問題文を読んだ直後に私は何も考えずに直感的にニック・ボストラム派になっていました。やや深く考えてもニック・ボストラム派でした。　次に三浦先生による眠り姫問題についての解説を読んで、私は１／２派に転向しました。（問３において月曜であるという情報を有効として事後確率を考えたのです）。この時点で世の中の相当な頭脳の持ち主のなかに１／３派が存在する理由が理解できていませんでした。１／３派の主張がまったく理解できなかったのです。理解するために相当の時間がかかりました。事実上、「悟り」に誓いヒラメキが必要だったのです。１／３派の主張がわかったとたんに、私は１／３派に転向しました。それでもしばらく悶々としていたのです。その後、１／２原理主義派が存在しうる脈絡や１／３原理主義派が存在しうる脈絡を思いついてしまいました。それなりにまっとうな理由を構築できそうなのです。
私は今、この時点で、１／３原理主義派と１／３派とのあいだを毎日いったりきたりしています。頭が馬鹿だから動揺するのです。

問題を楽しく考えるためのポイント

上にあげたオリジナルの問題において、コイン投げは、あなたが最初に起こされる前でも、月曜にあなたが目覚めた後でも、問題の構造は変化しないであろうという…部分が最初の考えどころです。あるいは、問３について２／３（１／２派）、問２について１／３（１／３派）、といった回答が直感に反しないかどうか吟味しておくことも肝要です。
目覚めたときに、目覚めたこと自体が、あらたな情報として確率の計算に影響するのかどうか、よく考えてみるべきです。月曜日であると知らされたときに、その情報によって確率の計算に影響するのかどうかもです。
また、一回コッキリのあなただけの体験時における（唯一設定での）確率と多数回あるいは多人数における（反復設定での）確率とが異なるかもしれません。

できれば、パズル界で有名なモンティ・ホール問題について事前に知っておくとより楽しめると思います。

なお、三浦先生の現時点での回答は以下のとおりです。

眠り姫問題がただ一度限りなされるなら、あるいは多数回なされても被験者自身が自分の実験を他から区別する明瞭な基準を持っているならば（唯一設定）、１／２説が正しい。実験が何度も繰り返されており、被験者としては自分がそのうちのランダムな一実験に属しているとの意識しかないならば（反復設定）、１／３説が正しい。
しかし、ここで私たちは今や、次のように付け加えることができる。唯一設定では１／２説、反復設定では１／３説が正しいが、ただし、コインを後から投げる設定（設定２＝後投げ設定）であれば、１/３説が正しい。反復設定では、コインを先に投げても（設定１＝先投げ設定）、後に投げても、１／３説が正しい。１/２説が正しいのは、先投げ設定の唯一設定においでだけである。

＊hoshikuzu注。オリジナルの眠り姫問題においては先投げ設定です。月曜日に眠った後にコインを投げる設定が後投げ設定です。