くいず１の回答例

表記方法

Ａ、Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５枚からニセコインを見つけます。

天秤にかけることを、【左：：右】のように書きます。たとえば、Ａ，Ｂを左に、Ｃ，Ｄを右にかけてはかることを【Ａ，Ｂ：：Ｃ、Ｄ】と書きます。

既に本物であることがわかっているコインを、Ｈと書きます。

回答例その１（概略）

回答例その１は、今朝夢で見たものです。出題時には思いついていませんでした。この回答は判りやすいと思います。

まず、【Ｈ，Ｈ，Ｈ::Ａ，Ｂ，Ｃ】とします。結果により分岐します。え？Ｈって何？５００円玉ですので世の中に多量にありますので借りてくるなり自分のサイフから取り出すなりということになります。ごめんなさい。でも禁止されてはいませんので許してください。

【Ｈ，Ｈ，Ｈ::Ａ，Ｂ，Ｃ】が釣り合えば、Ｄ、Ｅのどちらかがニセコインです。【Ｈ、Ｄ】にて結論が得られます。

【Ｈ，Ｈ，Ｈ::Ａ，Ｂ，Ｃ】が釣り合わなければ、Ａ，Ｂ，Ｃが、重いか、軽いか、になるでしょう。従って、ニセコインが重いのか軽いのかはこの時点で判明します。【Ａ::Ｂ】にてニセものが判明するでしょう。

回答例その２（概略）

【Ｈ，Ａ::Ｂ，Ｃ】にて初回計量します。結果により分岐します。

【Ｈ，Ａ::Ｂ，Ｃ】が釣り合えば、Ｄ、Ｅのどちらかがニセコインです。【Ｈ、Ｄ】にて結論が得られます。

【Ｈ，Ａ::Ｂ，Ｃ】が釣り合わなければ、【Ｂ、Ｃ】の計量にて、ニセコインが判明します。【Ｂ、Ｃ】が釣り合えば、ニセコインはＡとなります。【Ｂ，Ｃ】が釣り合わないとしましょう。初回の計量にて、Ｂ，Ｃは、Ｈ，Ａに比べて重かったとすると、Ｂ，Ｃのうち、重いほうがニセコインです。同様に、初回の計量にて、Ｂ，Ｃは、Ｈ，Ａに比べて軽かったとすると、Ｂ，Ｃのうち、軽いほうがニセコインです。

雑記

実は、「１３枚のコインの中から重さの異なるニセコインを１枚判別したい、但し計量は３回まで。」という拡張した問題が考えられます。この問題を私は最初に考えたのでした。但し、本物のコインをどこからか借りてきて良い、というルールです。もしも、借りてきてはいけないルールですと、３回の計量で判別可能なコインの枚数の上限は１２枚であることでしょう。借りてきてはいけないルールで１２枚中から１枚判別する問題は、中学校のときに数学の授業で取り扱われました。他クラスに比べ進度進みすぎ調整の意図だったかと思います。この問題の解答例は本質的に異なる方法が３通り程あったかと記憶に残っています。そのうちひとつは私の解でしたので鮮明に覚えているのですが、残りの２回答のついては復元できません。当時かなり鮮やかなような気がしたことだけ覚えているのですが。。

借りてきて良いルールで、１４枚、計量は３回、、が可能なのかどうかについては不明です。自分では不可能と思ってはおりますが。追記：一晩寝たら借りてきて１４枚が行けることに気がつきました。id:saikawa様よりコメントを頂戴いたしました。借りず１３枚が解けるとの事。あわあわ。苦しみそうです。（＾＾）

追記：借りず１３枚３回計量(途中まで試行)

【ABCD::EFGH】

  • 【釣り合った時】
    IJKLMの５枚を２回計量で−−−解決済み。

  • 【釣り合わなかった時】ABCDが重くEFGHが軽かったと仮定しても題意を乱さない
    【ABE::CD-】但し、-はIJKLMのうち任意の１枚で本物確定

とりあえず上のようなチャートを組んでおいて、さて出きるかな？


  • ABE = CD- の時
    FGHの中に軽いニセコインがあることがわかった。残り一回計量でＯＫ。【F::G】

  • ABE > CD- の時(つまりABEのほうが重かった)
    ABが重いコインであることがわかった。【A::B】を計量してＯＫ。

  • ABE < CD- の時(つまりABEのほうが軽かった)
    Eが軽いコインであるか、または、CDが重いコインであるか、が確定。【C::D】

うーん、見落としが無ければ上で判定できますねぇ。余詰め有り、ってとこでしょうか。あ、コメント欄に連絡が。id:saikawa様の7/15付け日記の回答を今拝見しました。私のと本質的に同じですね。ふたりがほぼ同様の結論に達しましたので見落としはないことでしょう。借りず１３枚３回計量は可能です。強い推測ですが、恐らく借りず４０枚計量４回も可能でしょう。計量の回数をnとすると、３をn回掛け合わせて（４回なら８１）１を引いて２で割ったものが、借りずにｎ回計量で１枚のニセコイン判定が出きる最大枚数でしょう。借りることが出きればその最大枚数は１だけ増えます。たぶんそうです。

もしもあらかじめニセコインの軽重がわかっている場合の、n回計量での判定可能最大枚数は、３をn回掛け合わせた数ですので、あらかじめ軽重がわからない場合では、最大枚数がほぼ半分になっていることは非常に興味深いところです。