眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問
この日記は、5/7の当日記についての自分なりの応答です。
眠り姫問題の1/3派のみなさんへの質問があります。
問2について、みなさんは1/3という解を支持しています。また、問3については、1/2という解を支持しておいでです。ＯＫ、お気持ちはよくわかります。では、以下の問いについてはいかがですか？
◇問３−１「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Ａの月曜日、もしくは、場合Ｂの月曜日であるである。場合Ａである確率は？」
※これ、言っていることは問3と全く同じですよね。
◇問３−２「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Ａの月曜日、もしくは、場合Ｂの火曜日であるである。場合Ａである確率は？」
※場合Ｂでめざめる選択肢として月曜日を振り替えて火曜日に。結果として確率は同じでしょう。
◇問３−３「さぁ、あなたは目覚めた。今は場合Ａの月曜日、もしくは、場合ＢのＸ曜日であるである。ただし、Ｘは別途定められた月か火のどちらかである。どちらであるかは教えられない。場合Ａである確率は？」
※ならば、月曜か火曜かは問わないが、場合Ｂで目覚める可能性の月曜と火曜のうち、どちらか一方だけ廃棄するだけでよいのでは？ 場合Ａでの目覚めと場合Ｂでの目覚めは同じ程度に確からしいので…………？？？？
おそらく、1/3派の皆さんは、すべての問いについて、1/2であると仰せになるでしょう。しかしながら本当にそれでいいですか？以下、反論してみましょう。
モンティ・ホールの問題（下記リンク参照）を応用して考えてみてください。眠り姫問題と全く同型であるはずです。
眠り姫問題が愛すべきモンティ・ホール問題と同型であるならば、1/3派の皆さんは、問3に対して、確率は1/3であるという、1/3原理主義派の意見に賛同していただけるのではないでしょうか。宗旨替えはいかがでしょうか。
念のために両方の問題が同型であるかどうか、考えてみましょうか。
まず、確認です。1/3派のみなさんにとって、場合Ａの月曜日、場合Ｂの月曜日、場合Ｂの火曜日のどれかに目覚めることは、同程度に確からしい、これが考えの基本であるはずです。だから、問２に対して 1/3 という答えを提示したのでした。また、上記◇問３−３に対して、1/2という解を提示されたのです。
それでは眠り姫問題を、これと等価である問題に置き換えていきます。 つまりモンティ・ホール化していきます。
今、あなたは、モンティ・ホール・ショーに出演しています。 あなたの前には、3つのカーテンがひかれています。モンティは、まず、あなたに、カーテンをひとつ選ぶように指示しました。あなたは、適当にどれかを選択します。すると、コンピュータが公平に乱数をふって、3つのカーテンの背後に、場合Ａ月曜日、場合Ｂ月曜日、場合Ｂ火曜日というカードを置きました。モンティはあなたに言います。「さぁ、場合Ａのカードをひきあてたら、豪華な賞品を差し上げましょう。ところで・・・」続いてモンティは、カーテンの背後のカードを参照しつつ、あなたが選んだカーテン以外のふたつのカーテンのうち、場合Ｂのカードが置いてあるカーテンをひとつオープンします。モンティは言いました。「さぁ、場合Ｂのカードがおかれているカーテンをひとつあけました。カーテンを選びなおしても良いですよ？どうなさいます？」
商品をゲットしたいあなたは明晰な頭脳で持って、既に選んでいたカーテンで商品をゲットできる確率が１／３であることを知っています！！
以上の設定は、眠り姫問題で、問3-3に相当します。モンティが、はずれのカーテンを必ずオープンできる根拠を、問3-3であらかじめ保障しておいたのでした。あなたの目覚め（最初に選んだカーテン）で場合Ａ月曜日が当選する確率は、モンティ・ホール問題において、1/3であることは周知の事実です。
ところで、問3-3の1/3と眠り姫問題の問3は同じ確率なのですよね？ したがって、眠り姫問題の問3において、あなたは、1/3という解を提示すべきであったのです！
さぁ！ 1/3原理主義派の意見に宗旨替えするつもりはありませんか？ 詭弁だ！ 変だ！ という皆さん！ どうか反論を！
※実は、1/2派についても。全く同様にして、眠り姫問題が、拡張したモンティ・ホール問題に帰着できるという論拠が構成できます。私はコンピュータシミュレーションまで作りました。多少無理してですけれど。1/2派のみなさん！1/2原理主義派になりませんか？
1/2派の気分
1/2派だった私
最初、私は1/2派でした。以下のような問題と等価であると考え、この問題が自分の身の上に実際に降りかかったときに、私はどう考えるのだろうか、と自問自答した結果、私は1/2派だったのです。
酔っ払い鉄道
私は酔っ払いである。やっとの思いでＸ駅にたどりついた。自宅はＡ駅周辺である。なんとかたどりつきたい。切符を買ってホームに出たら運良くＡ駅方面への列車が今にも出発しそうだったので駆け込み乗車をした。泥酔状態の私は座席につくなり安心して眠ってしまった。
実はこのホームから出る列車は、Ａ駅が終点の列車とＡ駅経由Ｂ駅終点の列車の二通りがある。酔っ払った私がどちらの列車に乗るかは、確率がフィフティーフィフティーであるとする。泥酔の私でも、終点に行けば、車掌が起こしてくれるので、Ａ駅終点の列車に乗れば私はすぐに帰宅可能であるし、Ｂ駅駅終点の列車にのれば、Ｂ駅からＡ駅までタクシー料金を支払うという出費が待っていることになるだろう。
列車の中で眠り込んだ私は、幸いにも列車が鉄橋の上を走る轟音で目覚めることになる。ただし、鉄橋をすぎればまたすぐに眠り込んでしまい、起きている間のことは忘れてしまう。したがって、次の駅がもうすぐだから起きていよう、などということはできない。酔っ払いだからしかたがない。さて、Ｘ駅からＡ駅までに鉄橋がひとつある。Ａ駅からＢ駅までのあいだに鉄橋がまたひとつある。つまり、Ａ駅が終点の列車では私は鉄橋による目覚めをひとつ経験し、Ａ駅経由Ｂ駅終点の列車では、私は鉄橋による目覚めをふたつ経験する。なお、ふたつの鉄橋による目覚めは区別ができないものとする。景色や、車内放送ほか、得られる情報はないものとする。
問2：「（鉄橋の轟音で）さぁあなたは目覚めた。あなたが、Ａ駅終点の列車にのっている確率は？」
かつての私は、上の設問に対し、いとも簡単に、「1/2」、ファイナルアンサー。と答えたのである。
だって、酔っ払いである私が、Ａ駅終点の列車にのる確率は1/2なんだもーん。 いくら途中で鉄橋で目が覚めたって、その事実にはかわらないんだもーん。 それにぃ。１回目で目覚めたことと（もしあればだけれども）２回目で目覚めたことと区別がぜんぜんつかないんだもーん。だとしたら、Ｂ駅終点の列車でいつ目覚めてもそれは１回目に目覚めたのとなんら主観的には変わらないんだもーん。いつ目が覚めても実質１回しか目が覚めていないのとおんなじじゃね？だったらＡ駅行きでもＢ駅行きでも目覚めたことで得られる情報って同じなんだもーん。
・・・上の設問で1/2じゃね？と思う人は結構多いのではないかと思うんですよね。あれ？少ないですか？がっくり。
眠り姫問題1/2派への反駁
問2について1/2であると答え、問3について1/3であると答える眠り姫問題1/2派の諸兄がたに反駁してみます。問2について1/2と答えるのであれば、問3についても1/2であると答えるのがまっとうなのではないでしょうか？ つまり、1/2原理主義派かもしくくはニック・ボストロム派になっていただくしかないのです、たぶん。
まず、次のような眠り姫問題の変形バージョンを考えます。
場合Ａ場合Ｂともに初期設定で月曜日と火曜日に目覚めることとします。他の設定はオリジナルと同じです。
◇問１「今は日曜日、実験開始の直前である。場合Ａである確率は？」
◇問２「さぁ、あなたは目覚めた。教えてやろう。あなたが目覚めたのは場合Ａの月曜日かもしくは場合Ｂの月曜日かもしくは場合Ｂの火曜日である。場合Ａである確率は？」
◇問３「さぁ、あなたは目覚めた。今は月曜日である。場合Ａである確率は？」
さて、1/2派の皆さんの問１への回答は1/2だろうと私は予想します。間違いありませんよね？
ならば問２への回答は？ この変形版眠り姫問題でもオリジナルの眠り姫問題でも、まったく同様に、あなたが目覚めたのは場合Ａの月曜日かもしくは場合Ｂの月曜日かもしくは場合Ｂの火曜日なのです。 どこにも変更がありません。 1/2派の皆さんは意見の相違のために、ここで内部分裂をするかもしれませんね。答えを二通り予想してみましょう。
ピーチ姫派：：問２への回答は、1/3。
デイジー姫派：：問い２への回答はあくまでもオリジナル版と同じで1/2。
まずピーチ姫派の場合ですが、あなたがたは既にオリジナル眠り姫問題の1/3派になりさがっています。問３への回答は1/2ですね？ あなたがたは本当に1/2派なのでしょうか？ 動揺分子ではありませんか？
次にデイジー姫派の場合を。 頑固ですねぇ。 この変形版眠り姫問題の特徴は、初期設定において、場合Ａでふたつの目覚め、場合Ｂでふたつの目覚め、ということでしたね。 そして、問２において、場合Ａのふたつの目覚めのうち片一方を減らしてみたわけです。 でもあなたがたの確率は変動せずに1/2のままです。 では問３についてはどうなのでしょう？ 場合Ｂのふたつの目覚めのうち片方を減らしてみたわけです。オリジナル版動揺に今度は確率変動して2/3になるとおっしゃいますか？ このへん、行動に首尾一貫性をもっていないように見受けられます。 つまり、場合Ａの目覚めが減っても確率変動しないのに場合Ｂの目覚めが減ったときだけ確率変動させる。これって怪しいですよね？ ね？ ね？
首尾一貫とした態度をとるためには、問３について場合Ｂのふたつの目覚めのうち片方を減らしても、場合Ａの確率は1/2のまま、と答えるのがよろしいでしょう。 結果として、ニック・ボストラム派と同じ結論になるはずです。もしくは、精密なベイズ判定の計算をして1/2原理主義派へと身をやつしても良いでしょう。
以上が眠り姫問題1/2派への反駁です。
